Teoria probabilităților. Probabilitatea unui eveniment, eveniment ocazional (teoria probabilităților). evoluții independente și incompatibile în teoria probabilității

Este puțin probabil că mulți oameni cred că este posibil să se numere evenimente, care într-o anumită măsură, accidentală. Pentru a pune în cuvinte simple, este realist să știe care parte a cubului în zarurile vor cădea data viitoare. A fost această întrebare pentru a cere două mari oameni de știință, a pus bazele pentru această știință, teoria probabilității, probabilitatea evenimentului în care studiat destul de larg.

generație

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, vom obține următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimente aleatoare. În mod evident, acest concept într-adevăr nu dezvăluie esența, deci trebuie să-l ia în considerare mai detaliat.

Aș dori să încep cu fondatorii teoriei. După cum sa menționat mai sus, au existat două, că Per Ferma și Blez Paskal. Ei au fost primii care a încercat, folosind formule si calcule matematice pentru a calcula rezultatul unui eveniment. În general, rudimente acestei științe este chiar și în Evul Mediu. În timp ce diferite gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de cazino, cum ar fi ruleta, zaruri, și așa mai departe, prin urmare, să se stabilească un model, iar pierderea procentuală a unui număr. Fundația a fost, de asemenea, pus în secolul al XVII-lea a fost savanți menționați anterior.

Inițial, munca lor nu au putut fi atribuite marilor realizări în acest domeniu, la urma urmei, ce au făcut, ei au fost pur și simplu fapte și experimente empirice au fost în mod clar, fără a utiliza formule. De-a lungul timpului, sa transformat pentru a obține rezultate foarte bune, care a apărut ca urmare a observării exprimate de oase. Este acest instrument a ajutat să aducă prima formulă distinctă.

suporteri

Ca să nu mai vorbim de un astfel de om ca Christiaan Huygens, în procesul studierii subiectului care poartă numele de „teoria probabilității“ (probabilitate a evenimentului se evidențiază în această știință). Această persoană este foarte interesant. El, precum și oameni de știință prezentate mai sus sunt încercate sub forma unor formule matematice pentru a deduce un model de evenimente aleatoare. Este demn de remarcat faptul că el nu a împărtăși cu Pascal și Fermat, adică toată munca lui nu se suprapune cu acele minți. Huygens derivate conceptele de bază ale teoriei probabilității.

Un fapt interesant este că munca lui a venit cu mult înainte de rezultatele lucrărilor de pionieri, să fie exact, douăzeci de ani mai devreme. Există numai printre conceptele identificate au fost:

• ca conceptul de valori de probabilitate șansă;
• așteptare pentru cazul discret;
• Teoreme de adăugare și înmulțire a probabilităților.

De asemenea, nu se poate uita Yakoba Bernulli, care, de asemenea a contribuit la studiul problemei. Prin propria lor, nici unul dintre ei sunt teste independente, el a fost în măsură să furnizeze dovada legea numerelor mari. La rândul său, oamenii de știință Poisson și Laplace, care a lucrat în secolul al XIX-lea, au putut să dovedească teorema originală. Din acel moment, pentru a analiza erorile din observațiile am început să utilizăm teoria probabilității. Partidul în jurul valorii de această știință nu au putut și rusă oameni de știință, mai degrabă Markov, Cebîșev și Dyapunov. Acestea se bazează pe munca făcut geniile, a asigurat subiectul ca o ramură a matematicii. Am lucrat aceste cifre la sfârșitul secolului al XlX-lea, și datorită contribuției lor, au fost dovedite fenomene cum ar fi:

• legea numerelor mari;
• Teoria lanțurilor Markov;
• Teorema limită centrală.

Deci, istoria nașterii științei și cu marile personalități care au contribuit la aceasta, totul este mai mult sau mai puțin clare. Acum este timpul pentru a concretiza toate faptele.

concepte de bază

Înainte de a atinge legile și teoremele ar trebui să învețe conceptele de bază ale teoriei probabilității. Eveniment ocupă un rol dominant. Acest subiect este destul de mare, dar nu va fi capabil să înțeleagă tot restul fără ea.

Eveniment în teoria probabilităților - ea Orice set de rezultate ale experimentului. Conceptele de baza ale acestui fenomen nu este suficient. Astfel, Lotman om de știință care lucrează în acest domeniu, și-a exprimat că, în acest caz, vorbim despre ce „sa întâmplat, deși nu se poate întâmpla.“

Evenimente aleatoare (teoria probabilităților acordă o atenție deosebită pentru ei) - este un concept care implică absolut orice fenomen care are posibilitatea să aibă loc. Sau, dimpotrivă, acest scenariu nu se poate întâmpla în performanța de o varietate de condiții. De asemenea, este în valoare de știind că ocupă întregul volum al fenomenelor care au loc evenimente doar aleatoare. Teoria probabilităților sugerează că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Este comportamentul lor a fost numită „experiență“ sau „test“.

eveniment semnificativ - acesta este un fenomen care este sută la sută în acest test se întâmple. Prin urmare, evenimentul imposibil - acest lucru este ceva ce nu se întâmplă.

Combinarea perechilor de acțiune (convențional cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Acestea sunt denumite AB.

Cantitatea de perechi de evenimente A și B - C este, cu alte cuvinte, în cazul în care cel puțin una dintre ele va (A sau B), veți obține un C. Formula Fenomenul descris este scris ca C = A + B.

dezvoltări incompatibile în teoria probabilității presupune că cele două cazuri se exclud reciproc. În același timp, ele sunt, în orice caz, nu poate avea loc. Evenimente comune în teoria probabilităților - este antipodul lor. Implicația este că dacă sa întâmplat, nu se opune C.

Opunându-eveniment (teoria probabilității le consideră în detaliu), sunt ușor de înțeles. Cel mai bine este să se ocupe de ei în comparație. Ele sunt aproape aceleași evoluții ca și incompatibile în teoria probabilității. Cu toate acestea, diferența lor este că unul dintr-o multitudine de fenomene, în orice caz, ar trebui să apară.

evenimente la fel de probabil - aceste acțiuni, posibilitatea de repetare este egală. Pentru a face clar, vă puteți imagina aruncând o monedă: pierderea uneia dintre laturile sale este la fel de pierdere probabil altele.

este mai ușor să ia în considerare exemplul de favorizare a evenimentului. Să presupunem că există un episod în episodul A. Prima - o rolă de o filieră, odată cu apariția unui număr impar, iar al doilea - apariția numărului cinci pe zaruri. Apoi, se dovedește că A este V. preferat

evenimente independente în teoria probabilităților sunt proiectate doar pe două sau mai multe ocazii și implică independent de orice acțiune din partea cealaltă. De exemplu, A - la pierdere cozi monede clatina si B - jack dostavanie de pe punte. Ei au evenimente independente în teoria probabilităților. Din acest moment a devenit clar.

evenimente dependente în teoria probabilității este de asemenea permisă numai pentru setul lor. Ele implică dependența de una pe de altă parte, adică, fenomenul poate avea loc numai în cazul în care A a avut loc deja sau, dimpotrivă, nu sa întâmplat când este - principala condiție pentru B.

Rezultatul experimentului aleator constând dintr-o singură componentă - este evenimente elementare. Teoria probabilităților spune că este un fenomen care se face o singură dată.

formula de bază

Astfel, cele de mai sus au fost luate în considerare conceptul de „eveniment“, „teoria probabilităților“, a fost, de asemenea, având în vedere definițiile termenilor cheie ale acestei științe. Acum este timpul să se familiarizeze cu importante formule. Aceste expresii sunt confirmate matematic toate principalele concepte într-un astfel de subiect dificil ca teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment și joacă un rol imens.

Mai bine să înceapă cu formulele de bază ale combinatorica. Și înainte de a le porni, merită luat în considerare ceea ce este.

Combinatorică - este în primul rând o ramură a matematicii, el a studiat un număr foarte mare de numere întregi, și diverse permutări ale ambelor numere și elementele lor, diverse date, etc., ceea ce conduce la un număr de combinații ... În plus față de teoria probabilității, această industrie este importantă pentru statistici, informatică și criptografie.

Deci, acum puteți trece la prezentarea ei înșiși și formulele lor de definire.

Prima dintre acestea este expresia pentru numărul de permutări, este după cum urmează:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 1 ⋅ ⋅ = n!

Ecuația se aplică numai în cazul în care elementele diferă doar în ordinea de aranjament.

Acum formula de plasare, se pare ca acest lucru va fi luate în considerare:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai la singurul element de plasarea comenzii, dar, de asemenea, la compoziția sa.

A treia ecuație de combinatorică și este acesta din urmă, numită formula pentru numărul de combinații:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Combinație numit de prelevare de probe, care nu sunt comandate, respectiv, și a aplicat această regulă.

Cu formulele de combinatorica a ajuns să înțeleagă cu ușurință, puteți merge acum la definiția clasică a probabilității. Se pare că această expresie, după cum urmează:

P (A) = m: n.

În această formulă, m - este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n - numărul de evenimente elementare egal și complet toate.

Există mai multe expresii din articol nu vor fi luate în considerare nimic, dar afectate vor fi cele mai importante, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea de evenimente se ridică:

P (A + B) = P (A) + P (B) - această teoremă pentru a adăuga numai evenimente care se exclud reciproc;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - dar aceasta este doar pentru adăugarea compatibil.

Probabilitatea lucrărilor de evenimente:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - teorema pentru evenimente independente;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A) P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - și pentru dependente.

Lista Încheiat cu formula evenimente. Teoria probabilităților ne spune teorema Bayes, care arata ca acest lucru:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

În această formulă, H _{1, H2,} ..., H _n - este un set complet de ipoteze.

La această oprire, aplicarea probe formule vor fi luate în considerare pentru sarcini specifice din practică.

exemple

Dacă studiem cu atenție orice ramură a matematicii, nu este lipsit de exerciții și soluții de probă. Iar teoria probabilității: evenimente, exemple aici sunt parte integrantă a calculelor științifice care să confirme.

Formula pentru numărul de permutări

De exemplu, într-o punte de carte de treizeci de cărți, începând cu cea nominală. Următoarea întrebare. Cât de multe moduri de a se plieze punte, astfel încât cărțile cu o valoare nominală de una și două nu au fost amplasate în continuare?

Sarcina este setată, acum să trecem la a face cu ea. În primul rând aveți nevoie pentru a determina numărul de permutări de treizeci de elemente, în acest scop, vom lua formula de mai sus, se pare P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, știm cât de multe opțiuni există pentru a stabili puntea în multe feluri, dar noi trebuie să fie deduse din ele sunt cele în care prima și a doua carte va fi următoarea. Pentru a face acest lucru, începe cu o variantă, atunci când primul este situat pe al doilea. Se pare că prima hartă poate dura douăzeci și nouă de locuri - de la prima la douăzeci și nouă, iar a doua carte de la al doilea la al treizeci, apoi douăzeci și nouă de locuri pentru perechi de cărți. La rândul său, ceilalți pot avea douăzeci și opt de locuri, și în orice ordine. Aceasta este, pentru rearanjarea douăzeci și opt de cărți au douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Rezultatul este că, dacă luăm în considerare decizia, atunci când prima carte este pe a doua ocazie în plus pentru a obține 29 ⋅ 28! = 29!

Folosind aceeași metodă, aveți nevoie pentru a calcula numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care prima carte este situată sub cea de a doua. De asemenea, a obținut 29 ⋅ 28! = 29!

Din aceasta rezultă că opțiunile suplimentare 2 ⋅ 29!, În timp ce mijloacele necesare de colectare a pachetului de 30! - 2 ⋅ 29!. Rămâne doar să se calculeze.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să multiplice împreună toate numerele de unu la douăzeci și nouă, și apoi la sfârșitul tuturor înmulțit cu 28. Răspunsul obținut 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Exemple de soluții. Formula pentru numărul de cazare

În această problemă, aveți nevoie pentru a afla cât de multe sunt modalități de a pune cele cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția ca numai treizeci de volume.

În această sarcină, decizia de un pic mai ușor decât anterior. Folosind deja cunoscută formulă, este necesar să se calculeze numărul total de treizeci de locații cincisprezece volume.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Răspuns, respectiv, va fi egală cu 202 843 204 931 727 360 000.

Acum, să ia sarcina un pic mai dificil. Trebuie să știi cât de multe sunt moduri de a aranja treizeci și două cărți pe rafturi, cu condiția ca numai cincisprezece volume se pot afla pe același raft.

Înainte de începerea deciziei ar dori să clarifice faptul că unele dintre problemele pot fi rezolvate în mai multe moduri, iar în acest există două moduri, dar se aplică atât în una și aceeași formulă.

În această sarcină, puteți lua răspunsul de la cel anterior, pentru că nu ne-am calculat numărul de ori aveți posibilitatea să completați raft pentru cincisprezece cărți în diferite moduri. Sa dovedit A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Al doilea regiment calculat prin formula remaniere, deoarece acesta este plasat cincisprezece cărți, în timp ce restul de cincisprezece. Noi folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că suma va A_30 ^ 15 ⋅ P_15 moduri, dar, în plus, produsul din toate numerele de la treizeci-șaisprezece ar fi înmulțită cu produsul dintre numerele o-cincisprezece, în cele din urmă se dovedesc produsul din toate numerele de la unu la treizeci, adică răspunsul este de 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate acestea sunt plasate pe acest plan, ci pentru că condiția impune ca existau două rafturi, una lungă am ferăstraie mecanice în jumătate, două rotații cincisprezece. Din aceasta se dovedește că pentru acest aranjament poate fi P_30 = 30!.

Exemple de soluții. Formula pentru numărul de combinații de

Cine este considerat o variantă a treia problemă de combinatorică. Trebuie să știi cât de multe moduri sunt de a aranja cincisprezece cărți cu condiția ca trebuie să alegeți de la treizeci exact la fel.

Pentru decizia va fi, desigur, se aplică formula pentru numărul de combinații. Din condiția ca aceasta devine clar că ordinea acelorași cincisprezece cărți nu este important. Deci, inițial, aveți nevoie pentru a afla numărul total de combinații de treizeci de cincisprezece cărți.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Asta e tot. Folosind această formulă, în cel mai scurt timp posibil pentru a rezolva o astfel de problemă, răspunsul, respectiv, egal cu 155117520.

Exemple de soluții. Definiția clasică a probabilității

Utilizând formula de mai sus, se poate găsi un răspuns într-o sarcină simplă. Dar va vedea în mod clar și să urmeze cursul de acțiune.

Sarcina având în vedere că într-o urnă există zece bile complet identice. Dintre acestea, patru galben și albastru șase. Luate de la urnă o minge. Este necesar să se cunoască probabilitatea dostavaniya albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să se desemneze dostavanie albastru eveniment A. Această experiență mingii poate avea zece rezultate, care, la rândul său, elementar și la fel de probabil. În același timp, șase din zece sunt favorabile evenimentului A. Solve următoarea formulă:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am învățat că posibilitatea dostavaniya Bila albastră este 0.6.

Exemple de soluții. Probabilitatea de sume evenimente

Cine va fi o variantă care este rezolvată prin utilizarea formulei de probabilitate a sumei de evenimente. Deci, având în vedere condiția că există două cazuri, primul este de cinci bile albe și gri, în timp ce al doilea - opt gri și patru bile albe. Ca urmare, prima și a doua casetă de-au luat pe unul dintre ele. Este necesar să aflăm care sunt șansele ca nu aveau bilele sunt gri și alb.

Pentru a rezolva această problemă, este necesară identificarea evenimentului.

• Astfel, A - avem o minge gri din prima casetă: P (A) = 1/6.
• A '- bulb alb, de asemenea, luat din prima cutie: P (A') = 5/6.
• - deja extras mingea gri a doua conductă: P (B) = 2/3.
• B '- a luat o minge gri al doilea sertar: P (B') = 1/3.

Conform problemei este necesar ca unul dintre fenomenele sa întâmplat: AB „sau“ B. Folosind formula, obținem: P (AB „) = 1/18, P (A'b) = 10/18.

Acum a fost utilizată formula înmulțirea probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația lor adăugând:

P = P (AB '+ A'b) = P (AB') + P (A'b) = 11/18.

Asta e modul în care, folosind formula, puteți rezolva astfel de probleme.

rezultat

Lucrarea a fost prezentată informația despre „teoria probabilității“, probabilitatea de evenimente care joacă un rol important. Desigur, nu totul a fost considerat, ci pe baza textului prezentat, puteți obține teoretic cunoștință cu această ramură a matematicii. Considerat știința poate fi utilă nu numai în afaceri profesionale, dar și în viața de zi cu zi. Îl puteți utiliza pentru a calcula orice posibilitate a unui eveniment.

Textul a fost, de asemenea, afectat de datele semnificative din istoria dezvoltării teoriei probabilității ca știință, și numele persoanelor ale căror lucrări au fost puse în ea. Așa cum curiozitatea umană a condus la faptul că oamenii au învățat să numere, chiar și evenimente aleatoare. Odată ce acestea sunt doar interesați de acest lucru, dar astăzi este deja cunoscut tuturor. Și nimeni nu poate spune ce se va întâmpla cu noi, în viitor, ce alte descoperiri geniale legate de teoria în cauză, s-ar fi comis. Dar un lucru este sigur - studiul încă nu este în valoare de ea!