Progresie geometrică și proprietățile sale

progresie geometrică este importantă în matematică ca știință, și semnificația aplicată, deoarece are un domeniu de aplicare extrem de largă, chiar și în matematici superioare, de exemplu, în teoria serii. Primele informații cu privire la progresul a venit la noi din Egiptul antic, în special sub forma unei probleme bine-cunoscut al papirus Rhind șapte persoane cu șapte pisici. Variante ale acestei sarcini au fost repetate de mai multe ori în momente diferite de alte națiuni. Chiar și Velikiy Leonardo Pizansky, cunoscut sub numele de Fibonacci (XIII c.), Vorbit cu ea în lucrarea sa "Cartea Abacus."

Așa că progresia geometrică are o istorie veche. Reprezintă o secvență numerică cu un prim element nenul, iar fiecare ulterior, începând cu al doilea este determinată prin înmulțirea formulei recurență anterioare la un număr constant, nenul care se numește progresie numitor (desemnat de obicei, folosind litera q).
Evident, poate fi găsit prin împărțirea fiecărei perioade ulterioare a secvenței la cea anterioară, adică z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Ca urmare, pentru cele mai multe locuri de muncă progresie (zn) suficient că știe valoarea primului termen al numitorului și y 1 q.

De exemplu, să z 1 = 7, q = - 4 (q <0), atunci următoarea progresie geometrică se obține 7 - 28, 112 - 448, .... După cum puteți vedea, secvența rezultată nu este monoton.

Să ne amintim că o secvență arbitrară de monotonă (în creștere / descreștere) atunci când unul dintre membrii săi urmeze mai mult / mai mică decât cea anterioară. De exemplu, secvența de 2, 5, 9, ..., și -10, -100, -1000, ... - Monotone, iar al doilea - o progresie geometrică descrescătoare.

În cazul în care q = 1, toți membrii se dovedesc a fi, și se numește progresie constantă.

Secvența a fost progresia acestui tip, acesta trebuie să satisfacă următoarea condiție necesară și suficientă, și anume: pornind de la al doilea, fiecare dintre membrii săi ar trebui să fie media geometrică a membrilor învecinate.

Această proprietate permite în anumite doua constatare adiacente progresie pe termen arbitrar.

n-lea termen exponențial ușor de găsit de formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), z știind primul membru 1 și q numitor.

Deoarece secventa de numere are o sumă, apoi câteva calcule simple , să ne dea o formulă pentru a calcula suma primei progresie a membrilor, și anume:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Înlocuirea, în formula sa valoare de expresie zn z 1 * q ^ (n-1) pentru a obține o a doua formulă sumă a progresiei: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Este demn de atenție următorul fapt interesant: tableta de lut găsite în săpături ale Babilonului antic, care se referă la VI. BC, contine mod remarcabil suma de 1 + 2 + ... + 22 + 29 egal cu 2 la minus puterea a zecea 1. Explicația acestui fenomen nu a fost încă găsit.

Remarcăm una dintre proprietățile de progresie geometrică - o lucrare constantă a membrilor săi, distanțate la distanțe egale de capetele secvenței.

De o importanță deosebită din punct de vedere științific, un astfel de lucru ca o progresie geometrică infinită și calcularea valorii sale. Presupunând că (in) - un q numitor progresie geometrică care are, care indeplineste conditia | q | <1, valoarea sa se va face referire la limita spre care știm deja suma primelor sale membri, cu creșterea nelegata n, apoi au la ea se apropie de infinit.

Această sumă ca urmare a utilizării cu formula:

S n = y 1 / (1- q).

Și, după cum experiența a demonstrat, pentru simplitatea aparentă a acestei progresii este ascunsă o aplicație potențial imens. De exemplu, dacă vom construi o secvență de pătrate în conformitate cu următorul algoritm, care leagă punctele mediane ale celui anterior, atunci ele formează o progresie geometrică infinit pătrat având un numitor 1/2. Aceeași formă progresie și aria de triunghiuri, obținute în fiecare etapă de construcție, iar suma este egală cu aria pătratului original.