Georg Cantor: teoria mulțimilor, biografia și matematică de familie

Georg Cantor (foto prezinta mai tarziu in articol) - matematician german, care a dezvoltat teoria mulțimilor și a introdus conceptul de numere transfinite, infinit de mari, dar diferite unul de altul. El a dat, de asemenea, o definiție a numerelor ordinale și cardinale și a stabilit aritmetică a acestora.

Georg Cantor: o scurtă biografie

Născut în St. Petersburg 03.03.1845. Tatăl său a fost un danez protestant Georg Waldemar Cantor, a fost implicat în comerț, în voi. H. Și la bursa de valori. Mama sa, Maria, Bem era catolic și a venit dintr-o familie de muzicieni proeminenți. Când, în 1856, tatăl său, George a devenit bolnav, familia în căutarea unui climat mai blând mutat la Wiesbaden apoi la Frankfurt. talent matematică, băiatul a apărut înainte de ziua lui, la 15 în timp ce studia în școli private și școli publice din Darmstadt și Wiesbaden. În cele din urmă, Georg Cantor a convins tatăl său în hotărârea sa de a deveni un matematician, mai degrabă decât un inginer.

După o scurtă instruire la Universitatea din Zurich, în 1863. Cantor a fost transferat la Universitatea din Berlin pentru a studia fizica, filosofie și matematică. Acolo el a fost învățat:

• Karl Theodor Weierstrass, a cărui specializare în analiză, a avut, probabil, cea mai mare influență asupra lui George;
• Ernst Kummer, care a predat cea mai mare aritmetică;
• Leopold Kronecker, la numărul de specialitate teorie, care mai târziu sa opus Cantor.

După ce a petrecut un semestru la Universitatea din Göttingen în 1866, anul viitor, George a scris teza de doctorat sub titlul „În matematică, arta de a pune întrebări este mai valoros decât rezolvarea problemelor“, în ceea ce privește problema pe care Carl Friedrich Gauss a lăsat nerezolvată în lucrarea sa Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Dupa ce a predat pe scurt la Școala din Berlin pentru fete Kantor a început să lucreze la Universitatea din Halle, unde a rămas până la sfârșitul vieții sale, mai întâi ca lector, din moment ce 1872 ca profesor asistent, iar din 1879 primul ca profesor.

cercetare

La începutul unei serii de 10 lucrări de la 1869 la 1873, Georg Cantor a considerat teoria numerelor. Lucrarea reflectă pasiunea pentru subiectul studiului său și efectul Gauss Kronecker. La sugestia lui Heinrich Eduard Heine, colegii lui Cantor de la Halle, care au recunoscut talentul său matematic, el a apelat la teoria seriilor trigonometrice, care a extins conceptul de numere reale.

Bazat pe funcția de lucru a unei variabile complexe a matematicianului german Bernhard Riemann în 1854, în 1870 Cantor a arătat că o astfel de funcție poate fi reprezentată într-o singură cale - prin seria trigonometrice. Examinarea setului de numere (puncte), care nu ar contrazice acest punct de vedere, l -au condus, în primul rând, în 1872, la definiția numerelor iraționale în termeni de secvențe convergente ale numerelor raționale (fracțiuni de numere întregi) și apoi la începutul lucrărilor privind munca vieții sale, set de teorie și conceptul numerelor transfinite.

teoria mulțimilor

Georg Cantor, teoria care stabilește originea în corespondență cu Institutul Tehnic din Braunschweig matematician Richard Dedekind, a fost prieten cu el încă din copilărie. Ei au ajuns la concluzia că seturile, finită sau infinit, sunt o multitudine de elemente (de exemplu, numere de {0, ± 1, ± 2 ...}) care au o anumită proprietate, păstrând în același timp individualitatea. Dar când Georg Cantor aplicate pentru a studia caracteristicile lor de o corespondență (de exemplu, {A, B, C} la {1, 2, 3}), a realizat rapid că acestea diferă în gradul lor de afiliere, chiar dacă ar fi seturi infinite , t. e. piesă set sau un subset care include același număr de obiecte așa cum este ea însăși. Metoda sa a dat rezultate uimitoare în curând.

În 1873, Georg Cantor (matematician) a arătat că numerele raționale, deși infinit, sunt numărabile, deoarece acestea pot fi puse în unu-la-unu cu corespondență naturală (de ex., E. 1, 2, 3 ,. D.). El a arătat că setul de numere reale constând dintr-un infinit rațional și irațional, și nenumărat. Ce paradox, Cantor a demonstrat că mulțimea tuturor numerelor algebrice conține cât mai multe elemente ca mulțimea tuturor numerelor întregi, și că numerele transcendente care nu sunt algebrică, care sunt un subset de numere iraționale este nenumărat și, prin urmare, numărul lor este mai mare decât numerele întregi și ar trebui să fie considerate ca fiind infinit.

Oponenții și susținători

Dar lucrarea lui Cantor, în care el a pus mai întâi înainte rezultatele, nu a fost publicat în „Krell“ revista ca unul dintre recenzori, Kronecker sa opus. Dar, după intervenția DEDEKIND a fost publicată în 1874 sub titlul „Caracteristicile tuturor numerelor algebrice reale.“

Știința și viața personală

În același an, în timpul lunii de miere cu soția sa, Valli Gutman în Interlaken, Elveția, Cantor sa întâlnit Dedekind, care a comentat cu amabilitate pe noua sa teorie. George salariu a fost mic, dar cu banii tatălui său, care a murit în 1863, el a construit pentru soția sa și cinci copii de acasă. Multe dintre lucrările sale au fost publicate în Suedia, în noua revista Acta Mathematica, editorul si fondatorul care a fost Gösta Mittag-Leffler, printre primii care au recunoscut talentul matematicianului german.

Comunicarea cu metafizica

Teoria Cantor a fost complet nou subiect de cercetare cu privire la infinit matematica (de exemplu, secvența 1, 2, 3 ,. D., și seturi mai complexe), care depinde în mare măsură de unu-la-unu corespondență. Cantor Dezvoltarea de noi metode de stabilire întrebări referitoare la continuitatea și infinit date cu împrumut studiile mixte.

Când a afirmat că un număr infinit există într-adevăr, el a apelat la filosofia antică și medievală cu privire la infinit și potențiale, precum și educația religioasă timpurie, pe care părinții l-au dat. În 1883, în cartea sa „Principiile fundamentale ale teoriei generale a seturilor“ Kantor combinat conceptul său de metafizica lui Platon.

Kronecker, de asemenea, care a afirmat că „există“ doar numere întregi ( „Dumnezeu a creat numerele întregi, restul - lucrarea omului“), timp de mai mulți ani au respins cu fermitate argumentele sale și a împiedicat numirea sa la Universitatea din Berlin.

numerele transfinite

În 1895-1897 gg. Georg Cantor a format pe deplin ideea lui de continuitate și infinit, inclusiv o secvență de numere și cardinale fără sfârșit, în lucrarea sa cea mai faimoasă, publicat sub titlul „Contributii la teoria numerelor transfinite“ (1915). Această lucrare include concepția sa, la care el a condus o demonstrație a faptului că un set infinit poate fi livrat într-o corespondență unu-la-unu cu unul dintre subseturi sale.

Cel mai mic număr cardinal transfinit el a însemnat puterea de orice set, care poate fi pus în unu-la-unu corespondență cu numerele naturale. Kantor a descris lui Aleph-zero. pluralitate transfinite mare Alef desemnată una, două sau Aleph-t. D. dezvoltată în continuare ordinale aritmetice, care a fost similară cu cea aritmetică finită. Astfel, el a îmbogățit conceptul de infinit.

Opoziția sa confruntat, iar în momentul în care a luat pentru a se asigura că ideile sale au fost pe deplin acceptate, a explicat complexitatea reevaluării problemei vechi a ceea ce este numărul. Kantor a arătat că un set de puncte pe linie are o capacitate mai mare decât Aleph-zero. Acest lucru a condus la problema bine-cunoscut al ipotezei continuum - fără Cardinali între fără puncte de putere pe linia Aleph-zero și. Această problemă, în prima și a doua jumătate a secolului 20 este de mare interes și a fost studiat de mulți matematicieni, în Vol. H. Kurt Gödel și Paul Cohen.

depresiune

Biografie Georga kantora 1884 a fost marcată de boala lui incipiente mintale, dar el a continuat să lucreze în mod activ. În 1897 el a ajutat să organizeze primul Congres Internațional al matematicienilor din Zurich. Parțial pentru că el sa opus Kronecker, el de multe ori simpatizat cu tinerii matematicieni înmugurirea și au încercat să găsească o cale de a le salva de la hărțuirea de către profesori, care se simt amenințați de noi idei.

recunoaștere

La începutul secolului operei sale a fost pe deplin recunoscută ca bază pentru teoria funcțiilor, analiză și topologie. În plus, kantora Georga carte a servit ca un impuls pentru dezvoltarea în continuare a școlii formaliste și intuiționist fundațiilor logice ale matematicii. Acest lucru sa schimbat în mod semnificativ sistemul de predare și este adesea asociat cu „noua matematica.“

In 1911, Cantor a fost printre cei invitați la celebrarea a 500 de ani de la Universitatea din St Andrews din Scoția. A plecat în speranța de a întâlni Bertrand Russell, care, în lucrarea sa publicat recent Principia Mathematica se face referire în mod repetat matematicianul german, dar acest lucru nu sa întâmplat. Universitatea Cantor a acordat un titlu onorific, dar din cauza bolii a fost incapabil să accepte premiul în persoană.

Cantor sa retras în 1913 și a trăit în sărăcie și foame în timpul primului război mondial. Festivități în onoarea de ziua lui 70 în 1915 au fost anulate din cauza războiului, ci o mica ceremonie a avut loc la casa lui. A murit pe 06.01.1918, în Galle, într-un spital de psihiatrie, unde a petrecut ultimii ani ai vieții sale.

Georg Cantor: o biografie. familie

09 august 1874, matematicianul german căsătorit Valli Gutman. Cuplul a avut 4 fii și 2 fiice. Ultimul copil a fost născut în 1886 în Cantor a cumpărat o casă nouă. Sprijinirea familiei a ajutat moștenirea tatălui său. Starea de sănătate a lui Cantor a afectat foarte mult moartea fiului său cel mai tânăr în 1899 - deoarece niciodată nu a părăsit depresia.