Cum să găsiți determinantul unei matrice?

Găsirea determinantului unei matrice este o acțiune importantă nu numai pentru algebra liniară: de exemplu, în economie, acest sistem rezolvă sisteme de ecuații liniare cu multe necunoscute care sunt utilizate pe scară largă în problemele economice.

Conceptul de determinant

Determinant sau determinant înseamnă o matrice egală cu volumul unui paralelipiped construit pe vectorii sau coloanele lui de rând. Calculați această valoare numai pentru o matrice pătrată, în care numărul de rânduri și coloane este același. Dacă membrii matricei sunt numere, atunci determinantul va fi și un număr.

Calcularea determinanților

Trebuie reamintit faptul că există mai multe reguli care pot facilita astfel de calcule.

Astfel, determinantul unei matrici constând dintr-un singur termen este egal cu elementul său unic. Nu este dificil să se calculeze determinantul ordinii a doua, pentru aceasta este suficient să se scadă produsul elementelor aflate pe diagonala secundară de produsul elementelor diagonale principale.

Calculul determinantului ordinii 3 este cel mai ușor realizat conform regulii triunghiului. Pentru aceasta, efectuăm următoarele acțiuni:

1. Gasim produsul celor trei termeni ai matricei localizati pe principalul sau diagonală.
2. Noi multiplicăm trei membri pe triunghiuri ale căror baze sunt paralele cu diagonala principală.
3. Repetăm prima și a doua acțiune pentru o diagonală auxiliară.
4. Gasim suma tuturor valorilor obtinute in calculele precedente, in timp ce numerele obtinute in al treilea paragraf sunt luate cu semnul minus.

Pentru a găsi cu ușurință determinantul unei matrice de ordine 4, precum și dimensiuni mai mari, este necesar să se ia în considerare proprietățile pe care toți determinanții le posedă:

1. Valoarea determinantului nu se modifică după transpunerea matricei.
2. Rearanjarea a două rânduri sau coloane adiacente duce la o schimbare a semnului determinantului.
3. Dacă există două rânduri sau coloane egale în matrice sau toate elementele coloanei (rânduri) sunt zero, atunci determinantul său este zero.
4. Înmulțirea numerelor de matrice cu orice număr duce la o creștere a determinantului său de același număr de ori.

Folosirea proprietăților de mai sus vă ajută să găsiți cu ușurință determinantul unei matrice a oricărei ordini. De exemplu, folosind în acest scop metoda de scădere a ordinii în care determinantul este descompus în elemente ale unui rând (coloană) înmulțit cu un complement algebric.

O altă modalitate, care simplifică foarte mult determinarea factorului determinant Matricea, este reducerea sa la o formă triunghiulară, când toate elementele aflate sub diagonala principală sunt egale cu zero. În acest caz, determinantul matricei este calculat ca produsul numerelor situate pe această diagonală.

Și în final, aș vrea să remarcăm că calculul determinanților, deși constă în calcule matematice aparent simple, necesită însă o îngrijire și o perseverență considerabilă.