Poliedre regulate: Elemente de simetrie și zona

Geometria este frumos, deoarece, spre deosebire de algebră, care nu este întotdeauna clar de ce și ceea ce crezi, dă un obiect vizual. Această lume minunată a diferitelor organisme împodobesc poliedre regulate.

Informații generale despre poliedre regulate

Potrivit multor poliedre regulate, sau ca acestea sunt numite solide platonice, posedă proprietăți unice. Cu aceste obiecte conectate mai multe ipoteze științifice. Când începe să studieze datele geometrice ale corpului, îți dai seama că aproape nu știu nimic despre un astfel de concept ca poliedre regulate. Prezentarea acestor obiecte în școală nu este întotdeauna interesant, așa că mulți nici măcar nu amintesc ce au fost chemați. În amintirea majoritatea oamenilor este doar un cub. Nici unul dintre geometria corpului nu posedă perfecțiune, cum ar fi poliedre regulate. Toate numele acestor corpuri geometrice proveneau din Grecia antică. Acestea reprezintă numărul de fețe: tetraedrului - patru laturi, hexaedre - Allen, octaedru - octogon, dodecaedrul - dodecahedral, icosaedru - icosaedrică. Toate acestea corp geometric ocupă un loc important în concepția universului lui Platon. Patru dintre ele sunt încorporate elemente sau entități: tetraedrul - foc, icosaedru - cub de apă - pământ, octaedru - aer. Dodecaedru întruchipat toate lucrurile. El a fost considerat principal, ca un simbol al universului.

Generalizarea conceptului unui poliedru

Poliedru este o colecție finită de poligoane, astfel încât:

• fiecare dintre laturile oricare dintre poligoanelor este în același timp, doar o parte a unui alt poligon pe aceeași parte;
• de la fiecare dintre poligoane pe care pot merge la alta prin care trece adiacent acestora poligoane.

Poligoane care constituie poliedrului reprezintă fețele sale și laterale ale lor - coaste. noduri poliedre sunt nodurile de poligoane. Dacă poligonul termenul înțeleg polilinii plat închis, apoi vin la o definitie a unui poliedru. În cazul în care acest termen se înțelege o parte a planului, care este delimitată de linii întrerupte, se va înțelege de suprafață constând din piese poligonale. poliedru Convex este numit corpul culcat pe o parte a planului, adiacent fețele sale.

O altă definiție a unui poliedru și elementele sale

Poliedru numita suprafață formată din poligoane, care limitează corpul geometric. Acestea sunt:

• non-convexe;
• convexe (bine și rău).

poliedru Regular - este un poliedru convexă cu simetrie maximă. Elemente de poliedre regulate:

• Tetrahedron: 6 coaste 4 fete 5 vârfuri;
• hexaedre (cub) 12, 6, 8;
• dodecaedru 30, 12, 20;
• octaedru 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Teorema lui Euler

Aceasta stabilește o relație între numărul de muchii, noduri și fețele sunt topologic echivalente cu o sferă. Adăugarea numărului de noduri și fețe (B + D) au diferite poliedre regulate și compararea acestora cu numărul de nervuri, este posibil să se stabilească o regulă: suma numărului de fețe egal cu numărul de noduri și muchii (P) a crescut cu 2. Este posibil să se obțină o formulă simplă:

• B + D = P + 2.

Această formulă este valabilă pentru toate poliedre convexe.

definiții de bază

Conceptul unui poliedru regulat, este imposibil de a descrie într-o singură propoziție. Este mai apreciat și de volum. Un organism care urmează să fie recunoscut ca atare, este necesar ca acesta să respecte o serie de definiții. Astfel, un corp geometric va fi un poliedru regulat atunci când sunt îndeplinite aceste condiții:

• este convexă;
• același număr de nervuri converge la fiecare dintre nodurile sale;
• toate aspectele sale - poligoane regulate, egale între ele;
• Toate unghiurile diedre sunt egale.

Proprietățile poliedre regulate

Există 5 tipuri diferite de poliedre regulate:

1. Cube (hexaedre) - are un unghi la vârf plat este de 90 °. Acesta are un unghi cu 3 laturi. Cantitatea nominală unghiuri la vârf de 270 °.
2. Tetraedru - unghiul la vârf plat de - 60 °. Acesta are un unghi cu 3 laturi. Cantitatea nominală unghiuri la vârf - 180 °.
3. Octaedru - unghiul la vârf plat de - 60 °. Acesta are un unghi cu patru laturi. Cantitatea nominală unghiuri la vârf - 240 °.
4. Dodecaedru - un unghi la vârf plat de 108 °. Acesta are un unghi cu 3 laturi. Cantitatea nominală unghiuri la vârf - 324 °.
5. Icosaedru - are un unghi la vârf plat de - 60 °. Acesta are un unghi de cinci laturi. Cantitatea nominală unghiuri la vârf de 300 °.

Zona de poliedre regulate

Suprafața a corpurilor geometrice (S) se calculează ca suprafață regulată poligon, înmulțit cu numărul de fațete (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

Volumul unui poliedru regulat

Această valoare este calculată prin înmulțirea volumului unei piramide regulate a cărei bază este un poligon regulat, numărul de fețe, iar înălțimea sa este raza înscrisă sferei (r):

• V = 1: 3RS.

Volumele de poliedre regulate

Ca orice alte poliedre geometrice solide, regulate au diferite volume. Mai jos sunt formule prin care se pot calcula:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octaedru: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexaedre (cub): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecaedru: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elemente de poliedre regulate

Hexaedre și octaedru sunt corpuri geometrice duble. Cu alte cuvinte, ei pot iesi din reciproc, în cazul în care centrul de greutate unul este luat ca partea de sus a celuilalt, și vice-versa. De asemenea, sunt duale icosaedru și dodecaedrul. Însuși numai tetraedru este dublă. Conform metodei lui Euclid poate fi obținut dintr-un hexaedru dodecaedru prin construirea „acoperișuri“ pe fețele cubului. Nodurile tetraedrul sunt oricare 4 noduri ale cubului, nu perechile adiacente de-a lungul marginii. De la hexaedre (cub) pot fi obținute și alte poliedre regulate. În ciuda faptului că poligoane regulate există nenumărate poliedre, regulate, există doar 5.

Raza de poligoane regulate

Cu fiecare dintre aceste corpuri geometrice sunt sfere concentrice conectate 3:

• descris trece prin nodurile;
• înscris în ceea ce privește fiecare dintre fețele sale în mijlocul ei;
• mediană cu privire la toate marginile din mijloc.

Raza sferei descrisă prin următoarea formulă se calculează:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Raza sferei inscripționată se calculează după cum urmează:

• R = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

unde θ - unghiul diedru care este între fațete adiacente.

Raza mediană a sferei poate fi calculată folosind următoarea formulă:

• ρ = un cos tt / p: 2 păcat π / h,

unde h = magnitudinea de 4,6, 6,10 sau 10. Raportul dintre razele descrise inscripționate și simetric față de p și q. Se calculează după cum urmează:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Simetria poliedre

Simetria poliedre regulate este de interes primar acestor corpuri geometrice. Se înțelege ca o mișcare a corpului în spațiu, care lasă același număr de noduri, fețe și muchii. Cu alte cuvinte, sub influența de simetrie transformări margine, vârf, sau a feței își păstrează poziția sa inițială, sau se deplasează în poziția de origine a unei alte coaste, celelalte vârfuri sau fețe.

Elemente de simetrie al poliedre regulate sunt comune pentru toate tipurile de solide geometrice. Aici se desfășoară pe transformarea identității, care lasă oricare dintre punctele în poziția inițială. Deci, atunci când porniți prisma poligonală poate obține niște simetrii. Oricare dintre ele poate fi reprezentat ca produs de reflecție. Simetria, care este produsul unui număr par de reflecții, numite directe. În cazul în care este produsul unui număr impar de reflecții, atunci aceasta se numește feedback-ul. Astfel, toate se rotește în jurul liniei drepte reprezintă simetrie. Orice poliedru reflexie - este simetria inversă.

Pentru a înțelege mai bine elementele de simetrie ale poliedre regulate, puteți lua exemplul tetraedrului. Orice linie care va trece printr - unul dintre nodurile și centrul formei geometrice, va avea loc, și prin centrul muchia opusă acesteia. Fiecare dintre spirele 120 și 240 ° în jurul liniei apartine simetria tetraedrice plural. Din moment ce 4 noduri și fete, vom obține un total de opt simetrii directe. Oricare dintre liniile care trec prin mijlocul muchiilor și centrul corpului, trece prin mijlocul laturii opuse. Orice rotire de 180 °, numită jumătate de tură în jurul unei drepte simetrie. Deoarece tetraedru are trei perechi de coaste, veți obține trei linii de simetrie. Pe baza celor de mai sus, putem concluziona că numărul total de simetrie directe, inclusiv transformarea identității, va fi de până la doisprezece. Alte simetrie directă tetraedru nu există, dar are 12 simetrie inversă. În consecință, numai 24 caracterizat simetrii tetraedru. Pentru claritate, putem construi un model de tetraedru regulat din carton și asigurați-vă că este corpul geometric într-adevăr are doar 24 de simetrie.

Dodecaedru și icosaedru - cel mai apropiat de zona corpului. Icosahedron are cel mai mare număr de fețe, unghiul diedru și cele mai multe dintre toate pot agăța strâns în sfera înscrisă. Dodecaedru are cel mai mic defect de cel mai mare unghi solid unghiular la vârful. Se poate maximiza pentru a umple în sfera circumscris.

poliedre de scanare

scanare poliedre regulate, pe care noi toți lipite împreună în copilărie, au o mulțime de concepte. Dacă există un set de poligoane, fiecare parte care este identificat cu doar o parte a poliedru, identificarea părților trebuie să respecte două condiții:

• din fiecare poligon, puteți merge la un poligon cu identificarea părții;
• partea identificabilă trebuie să aibă aceeași lungime.

Este un set de poligoane care îndeplinesc aceste condiții, și se numește o scanare poliedru. Fiecare dintre aceste organisme are mai multe dintre ele. De exemplu, un cub de care sunt 11 buc.