Poligoane convexe. Definirea unui poligon convex. Diagonalelor unui poligon convex

Aceste forme geometrice sunt tot în jurul nostru. poligon convex sunt naturale, cum ar fi un fagure sau artificial (om). Aceste cifre sunt utilizate în producerea de diferite tipuri de acoperiri în artă, arhitectură, ornamente, etc. poligon convex au proprietatea că punctele lor se află pe o parte a unei linii drepte care trece prin perechea de vârfuri adiacente ale figurii geometrice. Există și alte definiții. Se numește poligon convex, care este dispus într-o singură semiplan în ceea ce privește orice linie dreaptă conținând una din laturile sale.

poligoane convexe

În cursul geometriei elementare sunt tratate întotdeauna poligoane extrem de simple. Pentru a înțelege proprietățile forme geometrice pe care trebuie să înțeleagă natura lor. Pentru a începe să înțeleagă că este închis orice linie ale cărei capete sunt aceleași. Iar cifra formată de aceasta, poate avea o varietate de configurații. Poligonal se numește poligonală închisă simplu ale cărui unități adiacente nu sunt situate pe o linie dreaptă. link-uri și nodurile sale sunt, respectiv, părțile laterale și vârfurile figurii geometrice. Un polilinie simplu nu trebuie să se intersecteze.

vârfurile poligonului sunt numite vecini, în cazul în care acestea sunt capetele uneia dintre laturile sale. O figură geometrică, care are un număr de n-lea de noduri, și, prin urmare, numărul n-lea de partide numit gon n-. În sine linie întreruptă este limita sau conturul figurii geometrice. plan poligonal sau poligon plat numit partea finală a oricărui plan, lor limitat. laturile adiacente ale figurii geometrice numite segmente de polilinii care provin din același Vertex. Ei nu vor fi vecini, dacă acestea se bazează pe diferite noduri ale poligonului.

Alte definiții ale poligoanelor convexe

În geometria elementară, există mai multe definiții echivalente în sensul, indicând ceea ce se numește un poligon convex. Mai mult decât atât, toate aceste afirmații sunt la fel de adevărate. Un poligon convex este cel care are:

• fiecare segment care face legătura între oricare două puncte în cadrul acesteia, se întinde în întregime în ea;

• se află în ea toate diagonalele sale;

• orice unghi interior nu mai mare de 180 °.

Poligon împarte întotdeauna avionul în două părți. Unul dintre ei - limitat (poate fi inclus într-un cerc), iar celălalt - nelimitat. Primul se numește zona interioară, iar al doilea - zona exterioară a figurii geometrice. Aceasta este intersecția poligonului (cu alte cuvinte - componenta totală) de mai multe jumătăți de avioane. Astfel, fiecare segment având capetele la punctele care aparțin unui poligon aparține în întregime lui.

Soiuri de poligoane convexe

Definiția poligon convex nu indică faptul că există mai multe tipuri de ele. Și fiecare dintre ele are anumite criterii. Astfel, poligoanele convexe, care au un unghi intern de 180 °, denumit ușor convexă. Cifra geometrică convexă care are trei vârfuri, se numește un triunghi, patru - patrulater, cinci - pentagon, etc. Fiecare dintre convex n-gon îndeplinește următoarele cerințe importante: .. N trebuie să fie egală sau mai mare decât 3. Fiecare dintre triunghiuri este convex. Figura geometrică a acestui tip, în care toate nodurile sunt situate pe un cerc, numit cercul înscris. poligon convex Descris este numit în cazul în care toate laturile sale în jurul unui cerc să o atingă. Două poligoane sunt numite egale numai în cazul când se utilizează suprapunerea pot fi combinate. poligon plat numit plan poligonal (o porțiune plană) că această figură geometrică limitată.

poligon convex regulat

poligoane regulate numite forme geometrice cu unghiuri egale și laturi. În interiorul ei există un punct 0, care este aceeași distanță față de fiecare dintre nodurile sale. Este numit centrul figurii geometrice. Liniile care leagă centrul cu vârfurile figurii geometrice numite apotemă, și cele care conectează punctul 0 cu părțile - raze.

Corect dreptunghi - pătrat. triunghi echilateral este numit echilateral. Pentru astfel de forme există următoarea regulă: fiecare unghi poligon convex este de 180 ° * (n-2) / n,

unde n - numărul de vârfuri ale figurii geometrice convexe.

Zona oricărui poligon regulat se determină prin formula:

S = p * h,

unde p este egal cu jumătate din suma tuturor laturile poligonului, iar h este lungimea apotemă.

Proprietăți poligoane convexe

poligoane Convex au anumite proprietăți. Astfel, segmentul care face legătura între oricare două puncte de o figură geometrică, situată în mod necesar în ea. dovada:

Să presupunem că P - poligon convex. Ia două puncte arbitrare, de exemplu, A și B, care aparțin P. Prin definiția actuală a unui poligon convex, aceste puncte sunt situate pe o parte a liniei drepte, care conține orice direcție R. În consecință, AB are de asemenea această proprietate și este conținută în R. Un poligon convex întotdeauna pot fi împărțite în mai multe triunghiuri absolut toate diagonalele, care a avut loc unul dintre vârfurile sale.

Unghiurile forme geometrice convexe

Unghiurile unui poligon convex - sunt unghiuri care sunt formate de către părți. colțurile interioare sunt în zona interioară a figurii geometrice. Unghiul pe care este format de laturile sale care converg la un vârf, numit unghiul de poligon convex. Colțurile adiacente la colțurile interioare ale figurii geometrice, numite externe. Fiecare colț al unui poligon convex, aranjate în interiorul acestuia, este:

180 ° - x

unde x - valoare în afara de colț. Această formulă simplă se aplică oricărui tip de forme geometrice astfel.

În general, pentru colțuri exterioare există următoarea regulă: fiecare unghi poligon convex egal cu diferența între 180 ° și valoarea unghiului interior. Ea poate avea valori cuprinse între -180 ° până la 180 °. Prin urmare, atunci când unghiul interior este de 120 °, aspectul va avea o valoare de 60 °.

Suma unghiurilor de poligon convex

Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este stabilită prin formula:

180 ° * (n-2),

unde n - numărul de noduri ale n-gon.

Suma unghiurilor unui poligon convex se calculează destul de simplu. Luați în considerare orice astfel de formă geometrică. Pentru a determina suma unghiurilor într-un poligon convex trebuie să se conecteze unul dintre nodurile sale de la alte noduri. Ca urmare a acestei acțiuni se transformă (n-2) a triunghiului. Este cunoscut faptul că suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 °. Deoarece numărul lor în orice poligon este egal cu (n-2), suma unghiurilor interioare ale figurii este egală cu 180 ° x (n-2).

Suma colțuri poligon convex, și anume, oricare două unghiuri interioare și exterioare adiacente acestora, în această figură geometrică convexă va fi întotdeauna egal cu 180 °. Pe această bază, putem determina suma tuturor colțurilor sale:

180 x n.

Suma unghiurilor interioare este de 180 ° * (n-2). Prin urmare, suma tuturor colțurile exterioare ale figurii stabilite prin formula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Suma unghiurilor exterioare ale oricărui poligon convex va fi întotdeauna egal cu 360 ° (indiferent de numărul de laturi).

colțul exterior al unui poligon convex sunt în general reprezentate de diferența între 180 ° și valoarea unghiului interior.

Alte proprietăți ale unui poligon convex

Pe lângă proprietățile de bază de date figuri geometrice, ele au, de asemenea, alte, care apar în timpul manipulării acestora. Astfel, oricare dintre poligoane poate fi împărțită în mai multe convex n-gon. Pentru a face acest lucru, în continuare fiecare dintre laturile sale și a tăiat forma geometrică de-a lungul acestor linii drepte. Împărțiți orice poligon în mai multe părți convexe este posibil și, astfel încât partea superioară a fiecăreia dintre piesele coincid cu toate nodurile sale. Dintr-o figură geometrică poate fi foarte simplu pentru a face triunghiuri prin toate diagonalele de la un nod. Astfel, orice poligon, în cele din urmă, poate fi împărțită într-un anumit număr de triunghiuri, care este foarte util în rezolvarea diverselor sarcini legate de astfel de forme geometrice.

Perimetrul poligonului convex

Segmentele poliliniei, partidele numit-poligon, de multe ori marcate cu următoarele litere: ab, bc, cd, DE, EA. Această latură a unei figuri geometrice cu vârfuri a, b, c, d, e. Suma lungimilor laturile unui poligon convex se numește perimetrul acesteia.

Circumferința poligon

poligon convex pot fi introduse și descrise. Cercul tangentă la toate laturile figurii geometrice, numit înscris în ea. Acest poligon este numit descris. Centrul cercului care este înscrisă în poligon este un punct de intersecție al Bisectoarele unghiurilor într-o formă geometrică dată. Suprafața poligonului este egal cu:

S = p * r,

unde r - raza cercului inscris, iar p - semiperimetrul acest poligon.

Un cerc care conține nodurile poligon, numit descris lângă ea. Mai mult decât atât, această figură geometrică convex numită inscripționată. Centrul cercului, care este descris despre un astfel de poligon este așa-numitul punct de intersecție midperpendiculars toate laturile.

forme geometrice convexe Diagonal

Diagonalele unui poligon convex - un segment care nu se conectează vecine colțuri. Fiecare dintre ele este în interiorul acestei figuri geometrice. Numărul diagonalelor-n gon este stabilită conform formulei:

N = n (n - 3) / 2.

Numărul de diagonalele unui poligon convex joacă un rol important în geometria elementară. Numărul de triunghiuri (K), care se pot rupe fiecare poligon convex, calculat prin următoarea formulă:

K = n - 2.

Numărul de diagonalele unui poligon convex este întotdeauna dependentă de numărul de noduri.

Partitionarea unui poligon convex

În unele cazuri, pentru a rezolva sarcinile de geometrie necesare pentru a sparge un poligon convex în mai multe triunghiuri cu diagonalele care nu se intersectează. Această problemă poate fi rezolvată prin eliminarea unei anumite formule.

Definirea problemei: suna un fel dreptul de partiție al unui convex n-gon în mai multe triunghiuri prin diagonalele care se intersectează doar la nodurile unei figuri geometrice.

Soluție: Să presupunem că P1, P2, P3, ..., Pn - partea de sus a n-gon. Numărul Xn - numărul de partiții sale. ia în considerare cu atenție rezultată diagonală figura geometrică Pi Pn. In oricare dintre partițiile obișnuite P1 Pn aparține unui anumit triunghi P1 Pi Pn, în care 1

Să i = 2 este un grup de partiții regulate, întotdeauna conținând diagonală P2 Pn. Numărul de partiții care sunt incluse în ea, egal cu numărul de partiții (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1.

Dacă i = 3, atunci celelalte partiții de grup va conține întotdeauna o diagonală P3 P1 și P3 Pn. Numărul de partiții corecte care sunt conținute în grup, va coincide cu numărul de partiții (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Cu alte cuvinte, acesta va fi Xn-2.

Fie i = 4, atunci triunghiurile dintre partiția corectă este obligată să conțină un triunghi P1 Pn P4, care va învecina patrulaterul P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Numărul de partiții corecte astfel de patrulater este egal cu X4, iar numărul de partiții (n-3) -gon este egal Xn-3. Pe baza celor de mai sus, putem spune că numărul total de partiții regulate, care sunt incluse în acest grup este egal cu Xn-3 X4. Alte grupuri, în care i = 4, 5, 6, 7 ... va conține 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 partițiilor regulate.

Să i = n-2, numărul de partiții corecte într-un anumit grup va coincide cu numărul de partiții în grup, în care i = 2 (cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1).

Deoarece X1 = X2 = 0, X3 = 1 și X4 = 2, ..., numărul de partiții de poligon convex este:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

exemplu:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 X5 * + X6 + X7 = 132

Numărul de partiții corecte care se intersectează într-o diagonală

La verificarea cazurilor individuale, se poate presupune că numărul diagonalelor convex n-gon este egală cu produsul tuturor partițiilor acestui model grafic (n-3).

Dovada acestei ipoteze: să presupunem că P1n = Xn * (n-3), atunci orice n-gon poate fi împărțit în (n-2) este un triunghi. În acest caz, unul dintre ele poate fi stivuite (n-3) -chetyrehugolnik. În același timp, fiecare patrulaterul este diagonală. Deoarece această figură geometrică convex două diagonale poate fi realizată, ceea ce înseamnă că, în orice (n-3) -chetyrehugolnikah poate efectua suplimentar diagonal (n-3). Pe această bază, putem concluziona că, în orice partiție corespunzătoare are posibilitatea de a (n-3) reuniune -diagonali cerințele acestei sarcini.

Zona de poligon convex

De multe ori, în rezolvarea diverselor probleme ale geometriei elementare este necesar să se determine aria unui poligon convex. Să presupunem că (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n reprezintă o secvență de coordonate ale tuturor nodurilor vecine ale poligonului, neavând auto-intersecții. În acest caz, suprafața sa este calculat prin următoarea formulă:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

în care _{(X1, Y1) = (X n +1, Y} n + _1).